逆数の計算を計算の置換えで早くする

逆数の計算は愚直に実装をすると遅くなってしまいます.そこでニュートン法を用いることで逆数の計算を引き算と2回掛け算の反復処理に変換することで高速に求めます. 反復処理において何回計算するかで求まる逆数の値の精度が変わります.当然回数が多いほど精度は高まります.

ニュートン法に関してはリンクを参照してください.

\(\alpha\)の逆数が求めたいとした場合、ニュートン法を以下の式に対して用いる. $$f(x) = \alpha - \frac{1}{x}$$ これが0となる点は、\(x = \frac{1}{\alpha}\)となるはずである. \(f(x)\)の微分は $$ f'(x) = \frac{1}{x^2 }$$ なので ニュートン法によって導かれる式は、 $$x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}\\ = x_n - \frac{\alpha - \frac{1}{x_n}}{\frac{1}{x_n^2}} \\ =x_n - \alpha x_n^2 +x_n \\ = 2x_n - \alpha x_n^2 \\ = x_n (2 - \alpha x_n) $$ と求まる. つまり、いかが更新式 $$x_{n+1} = x_n (2 - \alpha x_n) $$

$$x_{n+1} = x_n (2 - \alpha x_n) $$ の計算を見ればわかるように この計算は一回の引き算と二回の掛け算によって求められる. これを必要な精度になるまで繰り返すことで逆数を求めることができる.