画像の２次微分

以下の解説は、画像の１次微分がベースとなっているのでリンクを貼っておきます.

画像の２次微分では、注目画素の近隣画素を使用しながら求めることができます. 一次微分のときのように数式で表せれば、 $$f''(x) = \lim_{h \to 0}\frac{f'(x+h)-f'(x)}{h}$$ と表すことができます. １次微分のときは、隣接した画素と引き算することだけで求まったので同様に考えれば、 x方向の2次微分は $$I_{xx}(x,y) = \frac{I_{x}(x+1,y) - I_x(x,y)}{1}\\ = (I(x+1,y)-I(x,y))-(I(x,y)-I(x-1,y))\\ = I(x+1,y)+I(x-1,y)-2I(x,y)$$ y方向の２次微分も同様にして $$I_{yy}(x,y) = I(x,y+1)+I(x,y-1)-2I(x,y)$$

下記のような画像において２次微分を計算を行う. $$I_{xx} = 130 + 60 - 2 \times 90 = 10$$ $$I_{yy} = 100 + 70 - 2 \times 90 = -10$$ と求まる