パーティクルフィルタ

パーティクルフィルタ(Particle Filter, 粒子フィルタ、モンテカルロフィルタ)は、複数の粒子にノイズをくわえながら観測データとモデルを元に内部状態を推定しく手法.非線形なモデルに対しても適用でき、粒子の数だけ精度はよくなるが、計算量もその分増え、粒子数がNのときに時間計算量はO(N)となる. 実装が簡単で様々な分野で適用することができるのが特徴. パーティクルフィルタでは、任意の分布を粒子の分布の密度で近似できるため、 非線形のモデルにも適用できている. 以下の絵がパーティクルフィルタの処理の流れの概要です.

上図のワンセットを繰り返していくことで、モデルの状態を推定し続けます. この場合推定しているのはもちろん\(x_n\)です. 左上に描いているように確率分布で確率が高いところにはたくさんの粒子をばら撒くことでその粒子の偏り方(濃度)で分布を近似しています. 変数 \(x_n\)が状態(未知, 求めたい) \(y_n\)が観測されるデータ(既知) \(w_n\)が重み(尤度を元に全粒子の尤度で正規化したもの) を扱い、あらかじめ決めておいた関数 関数 \(F(x)\) : 次の\(x_n\)を予測するためのシステムモデル関数(ここでノイズも付与) \(H(x,y)\) : 予測した\(x_n\)と観測した\(y_n\)を元に観測したデータから考えて尤もらしいと考えられるものに高い尤度を与える尤度関数(上図では\(H(x,y)\)は書いていません.) でモデルを推定行きます. それでは各段階についてです. ①予測 初期化したばかりの場合は、均一に粒子を撒きます. 今回の図の状態はすでに何度か推定を行なっていて、リサンプリングした後の状態です. リサンプリングによって得られた\(x_{n}\)を元にまず予測をします. 予測は\(x_n\)と\(F(x)\)を元に\(x_{n+1}\)を計算します.この過程でノイズも入れます. $$x_{n+1} = F(x_n, noise)$$ ②尤度計算 今回予測したデータ\(x_{n+1}\)と観測したデータ\(y_{n+1}\)を使って\(H(x, y)\)から尤度計算を行います.観測したデータが与えられたときにそれぞれの予測データはどれくらいありえるのかを計算します. その値を元に全体で正規化しつつ重みを計算します. $$w_{n+1} = H(x_{n+1}, y_{n+1})$$ 重み正規化 $$w_{n+1} = \frac{w_{n+1}^{(i)} }{\sum_{i}^p w_{n+1}^{(i)}} $$ ③リサンプリング ②で得られた重みに応じてパーティクルの移動を行います. 重みが小さいものを削除して、重みが多いところにその重みに応じたパーティクルが配分されるようにします.このとき同じ値になるパーティクルができますが、①のときにノイズを付与するので気にする必要はありません.

それぞれの段階では多数のパーティクルが自身の値を持っているだけで、 「結局どこにいると思うの?」という推定値が提示されていません. そこで複数の方法がありますが、一つの方法として 「重みつき平均値」を取る方法が採用されることがあります. $$\bar{x} = \sum_{i=0}^p w_{n+1}^{(i)} x_{n+1}^{(i)} $$ 単純に重みに応じて各パーティクルの値を平均するという手法です.他にMAPで行う場合もあります.