連鎖律(チェーンルール)

連鎖律(チェーンルール)は多変数の合成関数の微分において成立する関係式です.合成関数の導関数は各々の関数の微分、偏微分の積で求めることができます.様々な場面で使用される有用な手法です.

合成関数は例えば、変数\(g,x\)があって\(f(g), g(x)\)があるときに $$h(x) = f(g(x))$$ としたような\(h\)を合成関数と呼ぶ. 連鎖律は合成関数に関係した微分法の公式で、 常微分でも偏微分でも使用することができる. 実際に合成関数連鎖律を求めたときの式は以下のようになる. 1変数の関数\(f(g)\)と1変数の関数\(g(x)\) $$\frac{dh}{dx}=\frac{df}{dg}\frac{dg}{dx}$$ 2変数の関数\(f(x,y)\)と1変数の関数\(x(t),y(t)\) $$\frac{dh}{dt }=\frac{\partial f}{\partial x}\frac{dx}{d t}+\frac{\partial f}{\partial y}\frac{dy}{d t}$$ 2変数の関数\(f(x,y)\)と2変数の関数\(x(u,v),y(u,v)\) $$\frac{\partial h}{\partial u }=\frac{\partial f}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial u}+\frac{\partial f}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial u } \\ \frac{\partial h}{\partial v }=\frac{\partial f}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial v}+\frac{\partial f}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial v} $$

また合成関数が3つからなるものである場合は、以下のようになる. $$\frac{df}{dx} = \frac{df}{dg}\frac{dg}{dh}\frac{dh}{dx}$$ 連鎖律はニューラルネットワークにおける誤差逆伝播の計算、化学や物理における導出等様々な場面で使用される.