2~9の倍数か割り切れるか判定する

ある対象の数字が2~9の数の倍数か割り切ることができるかを判定する方法についてまとめています.なぜそのように判定できるかを式で説明をしています.

2の倍数か判定 2の倍数か判定は簡単です. 末尾の数字(1の桁の数)が2で割り切れるか 理由: \(n\)が整数とします.\(n\)を10で割った商が\(p\)で余りが\(q\)とすると $$n = 10 \times p + q$$ と表されます.この式の10を分解すると $$n = 2 \times 5 \times p + q$$ と書くことができるため、\(10\times p = 2\times 5\times p\)はどんなときでも2の倍数です.そのため\(n\)が2の倍数かどうかは\(q\)が2の倍数かどうかにかかっています. もし\(q\)が2の倍数 → \(p\)(2の倍数)+\(q\)(2の倍数) = \(n\)(2の倍数)となります. もし\(q\)が2の倍数ではない → \(p\)(2の倍数)+\(q\)(2の倍数ではない) = \(n\)(2の倍数ではない)となります. さて\(p\)は\(n\)を10を割ったもので、\(10 \times p \)は10の倍数であることは大丈夫かと思います.一方で\(q\)は\(n\)から10の倍数を全て引いたものです. 10の桁より上はう全て引かれてしまうので、余りの\(q\)は当然1の桁の数になります. さきほど\(n\)が2の倍数かどうかは\(q\)がの倍数かどうかと書いた通り、つまりこれは1の桁の数が2で割り切れるかどうかで判断できることを示しています.

3または9の倍数か判定 3または9の倍数か判定する方法はちょっと変わっています. 数字の桁の数を全て足してが3で割り切れるか.割り切れるなら3の倍数 数字の桁の数を全て足してが9で割り切れるか.割り切れるなら9の倍数 理由: \(n\)が整数とします.\(n\)が\(x\)桁を持つとすると その桁の数字を\(a,b,c\) ...とするととすると $$n = a \times10 ^ x + b \times10 ^ {x-1}+ c \times10 ^ {x-2} +\dots+ \\ p \times10 + q$$ と表されます.x桁目はa,x-1桁目はbというようになっています. この式の10を変形すると $$n = a \times (9+1) ^ x + b \times(9+1) ^ {x-1}+ c \times(9+1) ^ {x-2} +\dots+ \\ p \times(9+1) + q$$ 括弧の中を展開すると $$n = a \times (9^x + (9の倍数)+1) + b \times(9^{x-1} + (9の倍数)+1)\\ + c \times(9^{x-2} + (9の倍数)+1)+\dots+ \\ p \times(9+1) + q$$ と書くことができます.9の倍数をまとめると $$n = a \times (9の倍数) + b \times(9の倍数) + c \times(9の倍数)\\+\dots+ p \times 9 + (a + b + c +\dots + p + q)$$ 9の倍数は全て3でももちろん9でも割り切れるため 2の倍数のときと同様に「nが3または9の倍数かどうかは(a+b+c+...+p+q)が3の倍数または9の倍数であるか」によることになります.

5の倍数か判定は2の倍数のときと同じです. 末尾の数字(1の桁の数)が5で割り切れるか 理由: \(n\)が整数とします.\(n\)を10で割った商が\(p\)で余りが\(q\)とすると $$n = 10 \times p + q$$ と表されます.この式の10を分解すると $$n = 2 \times 5 \times p + q$$ と書くことができるため、\(10\times p = 2\times 5\times p\)はどんなときでも5の倍数です.そのため\(n\)が5の倍数かどうかは\(q\)が5の倍数かどうかにかかっています. もし\(q\)が5の倍数 → \(p\)(5の倍数)+\(q\)(5の倍数) = \(n\)(5の倍数)となります. もし\(q\)が5の倍数ではない → \(p\)(5の倍数)+\(q\)(5の倍数ではない) = \(n\)(5の倍数ではない)となります. 2の倍数のときのように、さきほど\(n\)が5の倍数かどうかは\(q\)が5の倍数かどうかと書いた通り、つまりこれは1の桁の数が5で割り切れるかどうかで判断できることを示しています.

4の倍数か判定は2の倍数のときの応用です. 末尾の2つの数字(2の桁の数)が4で割り切れるか 理由: \(n\)が整数とします.\(n\)を100で割った商が\(p\)で余りが\(q\)(\(q\)は0~99の数になりうる)とすると $$n = 100 \times p + q$$ と表されます.この式の100を分解すると $$n = 4 \times 25 \times p + q$$ と書くことができるため、\(10\times p = 4\times 25\times p\)はどんなときでも4の倍数です.そのため\(n\)が4の倍数かどうかは\(q\)が4の倍数かどうかにかかっています. もし\(q\)が4の倍数 → \(p\)(4の倍数)+\(q\)(4の倍数) = \(n\)(4の倍数)となります. もし\(q\)が4の倍数ではない → \(p\)(4の倍数)+\(q\)(4の倍数ではない) = \(n\)(4の倍数ではない)となります. 2の倍数や5の倍数のときとほぼ同じでした.ただ割る数が10だと4の倍数ではないため、それを100にすることで4の倍数にしてます.

8の倍数か判定は2の倍数と4の倍数のときの応用です. もうわかるかと思いますが、 末尾の3つの数字(最後の3桁の数)が8で割り切れるか 理由: \(n\)が整数とします.\(n\)を1000で割った商が\(p\)で余りが\(q\)(\(q\)は0~999の数になりうる)とすると $$n = 1000 \times p + q$$ と表されます.この式の1000を分解すると $$n = 8 \times 125 \times p + q$$ と書くことができるため、\(1000\times p = 8\times 125\times p\)はどんなときでも8の倍数です.そのため\(n\)が8の倍数かどうかは\(q\)が8の倍数かどうかにかかっています. 以下同じなので省略します.

6の倍数か判定は6の倍数が必ず2の倍数であり3の倍数でもあることを利用します. 末尾が2の倍数で全ての桁を足し合わせて3の倍数になるか 理由: 6は当たり前ですが2x3の掛け算で求まる数です. ある数\(n\)が6の倍数だったとして、6で割った値を\(p\)とすると $$n = 6 \times p$$ で書けます.当然6を分解すれば $$n = 2 \times3 \times p$$ のように書くことができます.式からもわかるように6の倍数の数字\(n\)はいつだって2の倍数で3の倍数であることがわかると思います. そのため6の倍数であるかどうかは2の倍数であることと3の倍数であることを確認すればよいということがわかると思います.