リヤプノフの安定性

リヤプノフの安定性に関してまとめています. 主な用語としては、 ・平衡点 ・安定 ・漸近安定 ・一様安定 ・大域的漸近安定 と呼ぶ状態があります. 安定性は複数の定義のされ方があるため、「リアプノフの意味で安定」と明示的に呼ぶことがあります.

あるシステムが $$f(t,x)$$ と書くことができるとします. この時に、任意の時間で $$f(t, x_e) = 0$$ を満たす\(x_e\)を平衡点と呼びます.少なくとも平衡点ではバランスがとれることが保証されるが、システムによってはほんの少しずれるともう平衡点に戻らないものや平衡点からずれても再度平衡点に戻るようなものもあり、システムの特性に依ります. ある時間\(t_0\)からある点\(x_0\)から始めた時に、その\(x\)にある点は方程式に従って、少しずつ遷移していきます.その移動が時間が経つにつれて(無限時間たったとして)どのようになって動いていくか(軌跡を描くか)を考察します.

上記に書いてある通りですが、今一度記しておきます. 安定 任意の開始時刻\(t_0\)から\(x(t_0)\)がある\(\delta\)に含まれている時に任意の時間\(t\)においても\(x(t)<\epsilon\)となるような\(\delta(\epsilon,t)\)が存在する. (εを決めたら、それに収まるように\(t_0\)に始まる領域δがいつでもあるよということ) 一様安定 上記の安定を守りつつ、\(\delta(\epsilon )\)で\(\delta\)を決められる.開始時間は関係ないときにこれを一様安定という. 漸近安定 上記の安定を守りつつ、十分平衡点に近いところから\(x_0\)を始めたとして、\(t\rightarrow \infty \)のときに、\(x(t)\rightarrow x_e\)(平衡点)となるとき、これを漸近安定と呼ぶ.つまり時間が経ったら平衡点に収束するということ.お盆に入れたボールがいずれ盆の底に向かう状態. 大域的漸近安定 漸近安定では平衡点の近いところという条件があったが、そうではなくいかなる場所から始めても平衡点に収束するとき、これを大域的漸近安定と呼ぶ.これはすなわちこのような平衡点が１点しかないことを示してもいる.