体積一定で最小表面積の立体が欲しい

「体積一定で最小表面積の立体」は"球"です. 球がどの方向にも凸な図形(どの方向にも出っ張っている図形)であることから想像は可能かと思います. また、「表面積一定で最大体積の立体」も"球"です.

シャボン玉がなぜ丸いのかも、表面張力が働くことによって球が最小の表面積になることからきています. シャボン玉がなぜ丸いかに関して解説しているリンクを貼っておきます.

二次元の場合、等周不等式/等周問題として古くから知られていました. そのとき、周囲長が一定の時に最大面積になるのも円です. \( L\)を周囲長 \(A \)を表面積とした時に $$ L^2\geqq 4A\pi $$ が成り立ちます. これはシュタイナー対称化によって導出することができます. 三次元においても同様の式が存在しますが、 証明は複雑なので、割愛します.