ヤコビ行列

以下のような関数\(f\)の\(y_1,\dots, y_m\)を各\(x_1,\dots,x_n\)で微分して行列にしたものをヤコビ行列(またはヤコビアン)と呼ぶ. $$f(x_1, x_2 ,\dots, x_n)=(y_1, y_2, \dots, y_m)$$ 以下のように書ける.JaccobianからJと記述する. $$\begin{eqnarray} J = \left( \begin{array}{cccc} \frac{\partial f_1}{\partial x_1} & \frac{\partial f_1}{\partial x_2} & \ldots & \frac{\partial f_1}{\partial x_n} \\ \frac{\partial f_2}{\partial x_1} & \frac{\partial f_2}{\partial x_2} & \ldots & \frac{\partial f_2}{\partial x_n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{\partial f_m}{\partial x_1} & \frac{\partial f_m}{\partial x_2} & \ldots & \frac{\partial f_m}{\partial x_n} \end{array} \right) \end{eqnarray} $$

ヤコビ行列は関数\(\boldsymbol{f}\)の一階微分であるため、ある\(x_0\)の点の周りで以下のように線形近似したときに記述するときに利用できる. $$\boldsymbol{ f }(\boldsymbol{x}) =\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x_0})+\boldsymbol{J}(\boldsymbol{x_0})(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x_0}) + o(\boldsymbol{x^2} )$$

ヤコビ行列から幾らかわかることがあります. 1. 正方行列のヤコビ行列がある点において最大階数になっていない(階数が落ちている/退化している)とき、その点は臨界点 2. もしある点で行列式が0でないとき、その点の周辺で微分可能な陰関数があると判定可能.

ヤコビ行列は上記のようにある点における線形近似で勾配を与えるため、 関数の傾きを参考に関数の最小(最大)な点を求める最適化手法において、 用いられる. ロボットの手先位置が決まっているときにロボットの関節角度を求めるような逆運動学でも使用される. ロボットの関節角度をθとして、手先位置をxとすると、f(θ) = xと記述でき、ヤコビ行列Jを使いながら関節角度を求める.

３次元の\(x,y,z\)座標を極座標\(r,\theta, \phi \)を用いて記述できます.これのヤコビ行列を求めてみます. $$ \begin{eqnarray} x &=& rsin\theta cos\phi \\ y &=& rsin\theta sin\phi \\ z &=& rcos\theta \end{eqnarray} $$ と極座標で書ける時 $$ \begin{eqnarray} J &=& \left( \begin{array}{rrr} sin\theta cos\phi & r cos\theta cos\phi & -r sin\theta sin\phi \\ sin\theta sin\phi & r cos\theta sin\phi & r sin\theta cos\phi \\ cos\theta & -r sin\theta & 0 \end{array} \right) \\ det(J) &=& r^2 sin\theta \end{eqnarray} $$