絶対値を含む式を解き方で工夫したい

絶対値を含む式を解くときには条件分けをして解くことが基本的な方針になります. では以下のような式を例にして考えます.

$$y = 2| x |+1 $$

上記のような絶対値を含む場合、絶対値の中のxが0より大きいか小さいかで式の形が変わります.そこで0より大きい場合と0より小さい場合で下のように場合わけを行います.

$$y = 2x + 1 (x\geqq 0)$$

$$y = -2x + 1 (x\lt 0)$$

上のような場合わけをすることで式を解きやすくすることができました。 xの値の範囲が異なるのが注意ですが、それにさえ気をつければ 他の式との交わる点を求めたり積分をしたりが可能になります.

また別の方針として絶対値を含む式を二乗することによっても解きやすくなります.

$$|x|^2 = x^2$$

上の性質を使えば以下のような問題を解きやすくしてくれます.

$$|x+5| = 10$$ $$|x+5|^2 = 100$$ $$(x+5)^2 = 100$$ $$x^2 + 10x - 75 = 0$$ $$ (x + 15) (x-5) = 0$$ $$∴x=-15,5$$