正規分布で相関ある二つの乱数が欲しい

平均が0で、分散が1となっている正規分布に従う二つのA,Bがあるときに、 それらの和と差で作られるX = αA + βB, Y = αA - βBは分散\(\alpha^2+\beta^2\)で相関係数が\(\alpha^2-\beta^2\)になることがわかっています. 上記を利用して、相関係数を自由に決められる二つの正規分布X, Yを作ることがここでの目標になります.

そこで、相関係数をρとし、分散を1とすれば、以下のようにしてαとβを求めればよいこととなる.

$$\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} \alpha^2 + \beta^2 = 1 \\ \alpha^2 + \beta^2 = \rho \end{array} \right.\end{eqnarray}$$ $$\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} \alpha = \sqrt{\frac{1+\rho}{2}} \\ \beta = \sqrt{\frac{1-\rho}{2}} \end{array} \right.\end{eqnarray}$$

最後にこれを実現するプログラムをここに貼っておく

rand_normalのような正規分布をプログラムで実現する方法については右のリンクを参照してください.