制御点で滑らかな関数近似をしたい

制御点を用いて全ての点を通る必要はなく関数近似をしたいときの技術についてまとめます. 主にここではベジェ曲線とBスプライン曲線について紹介します.与えられる点列には前後がありその順序に沿って曲線を決定していく. 複数の点を参考にして関数を決定する方法(ガウス過程等)は他にも山ほどありますが、上記の条件を満たすような関数のみを紹介します.

ベジェ曲線を用いれば直感的に曲線の傾きや形状を制御できるため多くのアプリケーションで採用されています. ベジェ曲線で両端の制御点を必ず通りますが、その間の制御点はあくまで制御するだけにとどまりそれらを通ることは全く強制されません. パラメータtを用いてベジェ曲線上の点は表現され0≦t≦1の間をtが移動するときに曲線を描いて開始点から終点までを移動して曲線を描きます.

ベジェの詳細については右の参考のリンクにて. 制御点と開始点のなす傾きがそのまま曲線の傾きになるため、複数のベジェ曲線をつなぐ場合は同一点に対応している二つの制御点が一つの直線状に並んでいれば傾きはスムーズにつながります。

Bスプライン曲線はベジェ曲線と並んで頻繁に使用される補間関数の一つです。 Bスプラインではスプライン基底関数の重みによって各点の影響度を決めて足し合わせて曲線を作成します。 下記の数式におけるPは制御点の座標です. 区分的なところでそれぞれ有効になる関数が限られているため、一部を変更しても曲線全体の形状が変わることはありません.

$$S(t) = \sum_{i=0}^{m-n-2} P_ib_{i,n}(t) $$

NURBSはBスプライン曲線を一般化したものといわれます.CAD等ではよくNURBSが実装されているのでそちらも参考にしてください.

NURBSは、Bスプライン関数の基底関数が一様に同じであるところが、非一様になっており制御点によって形状が異なります。