平均分散でマハラノビス距離を求める

平均と共分散行列がわかっている分布同士では、共分散行列が共通なら分布間の距離を定義することができます。

分布と分布の計算は、 両方の共通な共分散行列を$\Sigma$として、 各分布の平均ベクトルを$\vec{x}$と$\vec{y}$としたときに、 分布間の距離は、以下のように表される

$$d({\vec {x}},{\vec {y}})={\sqrt {({\vec {x}}-{\vec {y}})^{T}\Sigma ^{{-1}}({\vec {x}}-{\vec {y}})}}\,$$

また、点と分布との距離を求めることもでき、その場合は 通常のユークリッド距離と異なり、等高線を描いたように方向によって距離の重みが異なった距離が計算されます。

分布の平均を $${\displaystyle \mu =(\mu _{1},\mu _{2},\dots ,\mu _{n})^{T}} $$ として、 分布の共分散行列を $$ \Sigma $$ としたときに、 点\(x\)と距離は、 $$D_{M}(x)={\sqrt {(x-\mu )^{T}\Sigma ^{{-1}}(x-\mu )}}\,$$